某天jandan上赫然有一篇《请用小学的方法解出这道数学题》。

大概图是这样子：

如上图，题中给出一个正方形，边长为1，正方形里面有一个扇形和一个半圆形，求的是扇形和半圆形交叉部分（就是两个弓形）a的面积。

然后想了一下，应该可以积分吧~

然后发动大家想了很久~

CJL师兄算出一个很接近的答案，但是还是有错误~

最后决定，应该没啥初等的办法可以解决。

第一种做法，是正反三角函数求边~显然是可以求的~

【但是整个过程真的很猥琐，用好几次倍角公式化简~然后最后带出长长的等待计算器解决的式子~不过确实是可以算~】

所以，我们来积分吧。

显然以左下角为原点列出方程：

x^2+(y-1)^2=1

(x-1/2)^2+y^2=0

联立可得交点在(0,0), (4/5,y2)

（y2可以不用算~我们主要是要积分出一个界）

然后函数

s = sqrt(1-x)+sqrt((1/2)^2-(1/2-x)^2)-1

积分

很囧的用Wolfram的mathematica弄出来的结果是：

我一直很囧的没去验证。

直到，突然领悟到，函数要讲求定义域！！！

显然定义域domain: [0,1]

显然上面有个x-1开根号~

太囧了，用个虚数去求它的对数。

于是又搁置了下来。

***

到了这次去韶关的路上，在前往广州的大巴上，由于空虚我再次向身旁的_gXX同学提出此问题。

然后刚好他很想普及一下ghk牛的积分。

所以就积分起来。

首先狗牛质疑了我算出来的0.8，很快承认他质疑是不明智的~~~ ：-：= =

很不幸第一个部分就积了比较久。还想着怎么微回去检验一下。

结果他laptop上的mathematica证明第一部分积出来对的：

=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2 + C (根据狗牛习惯，“省略”去C，考试勿学，下同)

然后我用mathematica算了整个的结果，证明结果跟wolfram上一样~（本来wolfram就是用mathematica积的）

_gXX牛鄙视地说，手积吧~是软件就有bug。不定积分有了bug，定积分就出来个0.i。

在车上问了所有STTeam的成员，没一个能算出来（不论是初等方法还是积分）~_gXX说，Wei没有来。

于是经过狗牛的普积教育，广大OIers终于解出：

【大家不要学这种省略写法！~】

经过freepascal的验证，这个函数在0到4/5的定积分是：

| ( arcsin (x) / 2 + x * sqrt ( 1 - sqr (x) ) / 2 ) - ( sin(4*arccos(sqrt(x)))/16 - arccos(sqrt(x))/4) - x | ( 0 , 4/5 )

=0.2404347884

这个与几何画板的结果显然是吻合的。

显然mathematica的实数部分也是对的~

所以~~~

至此~

这道小学奥数题圆满解决。

QED

（想象如果一台电脑发出这样的感叹~）

phoeagon