MM=Murderous Maths

有一套书“Murderous Maths”，翻译成中文竟然成了“经典数学”……

更囧的是，"Murderous Maths"系列有一本叫"Murderous Maths"，翻译成了“经典数学 系列之 要命的数学”……

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这几天数学课很神游~

神游神游ing~ 就发现讲的一道题好像有问题~

最近不是在讲数列Sequence吗~

题目大概是这样子啊的~

      一个{Ai}(i≥1)是等差数列( AP )，前n项和Sn=2n^2-1n。取{Bi}(i≥1)，Bn=Sn/(n+a)。令{Bi}等差，求a。

//大概那个题目是两个小题~ 神游ing其他的忘记了，第一小题求完就等价于这个形式了~ 这是第二个问~

我们数学老师很囧的代Sn-S(n-1)求出An。然后带进去求出前三项为

1 3 5

用特殊值法，方程解出a:

4 / ( 2 + a )   -   1 / ( 1 + a )  = 9 / ( 3 + a )  - 4 / ( 2 + a ).

当然这个是对的~ 但也不知道他怎么解的只是解出来a=-0.5.

明显一眼望去a=0就是一个解嘛。

a=0时

B就是      1/1          4/2              9/3

就是   1     2     3

怎么看都很像可爱的等差数列是吧~

当然啦，这种方法比较丑陋。你想，Bi的表达式是关于Si的，而我们反而由Si代进去求出Ai，用特殊值Ai求和，得出有限的几个Si值列方程…… 这不是瞎折腾吗~

我就神游出另外的做法。

            Sn
Bn = --------
           n+a

             n(2n-1)
    =----------------
                n+a

所以很明显了，设f(x)=Bx=....

然后，为使{Bi}为AP，必然f(x)为关于x的最高次不超过1的函数，即f(x)为常函数或一次函数。（稍后证明）

显然分子有x的平方项，分母只有n的一次项。显然f(X)化为一个一次函数。

所以(n+a)要么约掉n要么约掉(2n-1)

所以   a=-0.5 或 a=0

好，下面来证明，无限数列{Ai} (i≥1)是等差数列，设存在多项式函数F(n)=An (n≥1)成立，则F(x)必定为关于X的一次函数或常函数。

【the proposition above is modified a bit】

首先证明充分性…… 充分性还用证明吗？常函数的话，d=F(n)-F(n-1)=0.

对一次函数，d=F(n)-F(n-1)=kn+b-k(n-1)-b=k

充分性得证。

下证必要性。

这个东西嘛，一看就应该来导数一下~~~~

注意到等差数列的 公差 (common difference):

                          F(n)-F(n-1)
d=F(n)-F(n-1)=--------------------
                            n-(n-1)

即函数在[n-1,n]上的平均变化率。

根据拉格朗日中值定理，或者看成柯西中值定理的一个特例~

∃ ζ∈ [ n-1, n ] 满足 F ' (ζ) = F(n)-F(n-1).

//显然这种初等函数在[n,n+1]上连续且在(n,n+1)上可导。

则问题转化为，函数F(x)满足在任意区间[x,x+1](x≥1)上有一个点导数F'(ζ)=d.

⇒导函数F'(x)=d 有无穷多个解。

显然，当原函数为常函数时导数F'(x)≡0，对一次函数F(x)=kx+b有F'(x)=d=k（k是常数）。

显然当x最高此项大于1时，导函数的最高次项大于0，则导函数不可能对任意x（x≥1）满足F'(x)=kx+b=0。因为K次方程至多有K个解。而当最高次出现在分母，可以只可能因为分母不为0而减少根的个数。

话说，我们老师人本来就很囧~

除了说数列前n项的和为Sn的n读得不清楚~……

有一次他说，呃，还有十分钟，我们就讲一下怎么根据递推式求通项~……

靠……这个不是高数要学至少一个单元的递推式求解吗~

除了那种一眼可以看出来的通项和低阶线性齐次递推式，别的还真不容易啊~

靠~