微积分在初等数学中的非主流应用
phoeagon
众所周知，微积分在数学的许多领域都有重要的应用。学界普遍把17世纪时牛顿、莱布尼兹分别创立的一套微积分理论体系作为微积分的开始。但实际上在牛顿的时代，早已有了微积分的许多思想和方法。牛顿和莱布尼兹最大的贡献在于 牛顿-莱布尼兹公式 为微积分计算提供了一个十分机械而简洁的计算法则。
想必大家早在初中甚至更早就掌握了最基本的多项式的微积分运算~ 微积分对现行课程内容有什么帮助呢~
微积分学在研究函数等方面的作用是有目共睹的~ 许多函数题目，尤其是 求证奇偶性、单调性、最值的题目都可以简单运用导数解决。求若干函数图像围成的图形面积也是微积分的经典例子。但在这些耳熟能详的例子以外，微积分在初等数学领域有什么应用呢~ 我们今天就一起来探讨，有关微积分在初等数学中的非主流运用。
例1：(thanX to _gXX )
有三个完全一样的小球A/B/C，在一段长度为1的线段上方随机释放，每个球落在线段上任意一点的几率相等，求B刚好落在A、C之间的概率。
X Y Z
|----------------------------|-------------|
(x) (1-x)
设B小球落在线段XZ上的Y点。设XY=x
“A落在XY间，C落在YZ间”的概率为：
P1 = ( x / 1 ) ( ( 1 - x ) / 1 ) = ( x ) ( 1 - x ) = - x ^ 2 + x
则B在AC之间的概率为 P' = 2 P
定积分
1 1
2*∫ ( - x ^ 2 + x ) d x = 2 [ - ( x ^ 3 ) / 3 + x ^ 2 / 2 ] = ----
0 3
例2：（数学 必修五）
求和：
1 + 2 x + 3 x ^ 2 +4 x ^ 3 + 5 x ^ 4+ . . . + n x ^ ( n -1 )
这个数列求和，观察每一项，满足牛顿-莱布尼兹公式 ( x ^ n )' = ( n * x ^ (n-1) )
∴∫ ( 1 + 2 x + 3 x ^ 2 +4 x ^ 3 + 5 x ^ 4+ . . . + n x ^ ( n -1 ) ) d x
= x + x^2 + x^3 +ｘ^４ ＋ x ^ 5 + x ^ 6 + . . .+ x ^ n + C
= x ( 1 - x ^ n ) / ( 1 - x ) + C .........G(x)
取导数得：
G'(x) = ( 1 - x ^ n ) / ( 1 - x ) + x [ ( x - x ^ n ) / ( 1 - x ) ]'
=...
- n * x ^ n x ( 1 - x ^ n ) 1 - x ^ n
= --------------- + ------------------ + --------------
1 - x ( 1 - x ) ^ 2 1 - x
//这里省略了对原题若干个变量特殊情况的讨论，只讨论一般情况下的化简。
综上，一方面微积分应该看做是一个计算，它同其他计算技巧，如通分约分等，常常可以起到化简表达式的作用。另一方面，许多较为复杂的“几何概形”、“无限细分”的问题，化为微积分问题，常常有山重水复疑无路，柳暗花明又一村的效果。
所以，其实微积分在初等数学领域大有作为。
PS：这两道题有各自不使用微积分的做法~
你可以想到吗~？
有没有听过一句话：“通分展开化简得证”
俗称暴力法。
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