不定積分(Indefinite Integral) - Mathematics Blog

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2010 年 6 月 23 日星期三

不定積分(Indefinite Integral)

分類: Calculus

終於去到積分(integral)既部分啦!黎到呢到,大家可能有個疑問,學微積分有咩用?

好簡單咁總結一下,微積分既兩個支柱係微分同積分,微分係計算線性(平面)既斜率,積分係計算一個既定範圍既面積(體積)

打個比如:

$v=\frac{s}{t}$ (速度(velocity)=位移(displacement)/時間)

我地用直線

係一個 s=2t 既圖入面,要搵佢既速度v係非常容易,因為上圖既斜率正正就係指個個速度!

不過以下既圖又點計呢?

以上 s=ln(t²) 既圖又點計佢既斜率呢?就要用到微分!

即係 $v=\frac{ds}{dt}$

$v=\frac{d}{dt}ln(t^2)$

問題係,究竟積分點用呢?首先要係到引入對積分既概念

如果 $f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$ ,我地會話 $\int f(x)dx=F(x)+c$ ,當c係一個常數(個c一陣先解釋番)

左面既係微分既模式,右面既係積分既模式,

聰明既大家可能已經發現,f(x)同F(x)只係調轉左寫法姐,冇錯,佢既做法正正就係逆番過黎!

可能到呢到仲未明白,就俾個倒子

之前提過

$\frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}$ ,好明顯地

$\int \cos{x}dx=\sin{x}+c$

問題係,c點黎架呢?

你又試下諗下 $\frac{d}{dx}(\sin{x}+c)=$ 幾多? $\frac{d}{dx}c=0$ 架喎

咪都係一樣 =cosx 囉!

既然 $\frac{d}{dx}c=0$ ,而c係一個數字,點可以因為積分完就忽略呢?

從上述既說明,姐係話:

$\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x)$

以下又有一系列既公式,唔洗驚,用慣左就得架啦!(可以用微分d下個解,睇下得唔得到 ∫???dx 入面舊野)

注:以下出現既a同n係常數,u同v係x既函數,ω係u既函數,所以都係x既函數

1) $\int adx=ax+c$ 可以考慮 $\frac{d}{dx}(ax+c)=a$

2) $\int af(x)dx=a\int f(x)dx$

3) $\int (u\pm v)dx=\int udx \pm \int vdx$

4) $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$ 可以考慮 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c\right)=x^n$

5) $\int \frac{dx}{x}=ln|x|+c$ 可以考慮 $\frac{d}{dx}(\ln{|x|}+c)=\frac{1}{x}$

6) $\int e^xdx=e^x+c$ 如上累推!

7) $\int a^xdx=\frac{a^x}{ln|b|}+c$

8) $\int \sin{x}dx=-\cos{x}+c$

9) $\int \cos{x}dx=\sin{x}+c$

10) $\int udv=uv-\int vdu$

eg:

$\int \cos^2{x}dx$

$=\int \frac{1}{2}(1+\cos{2x})dx$ (∵ $\cos^2{x}=\frac{1}{2}(1+\cos{2x})$ )

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{2}(1+\cos{2x})d(2x)$ (因為 cos2x 同 dx 係唔配,所以為左要將 dx 變成 d(2x) ,就需寫成 $dx=\frac{1}{2}d(2x)$ )

$=\frac{1}{4}\int d(2x)+\frac{1}{4}\int \cos{2x}d(2x)$ (試想像u=2x)

$=\frac{1}{4}(2x)+\frac{1}{4}\sin{2x}+c$ (唔好忘記要+c)

$=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin{2x}+c$

$\int \frac{2x}{x+2}dx$

$=\int \frac{2x+4-4}{x+2}dx$

$=\int \left(2-\frac {4}{x+2}\right)dx$

$=\int 2dx-4\int \frac {1}{x+2}dx$ ....................................(3)

$=\int 2dx-4\int \frac {1}{x+2}d(x+2)$ (大家應該要知道: dx=d(x+a) )

$=2x-4\ln{\left|x+2 \right|}$ +c (可以想像下u=x+2)(可能打唔慣呢d programme,我都唔記得+c-.-)

$\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}$

∵ $\frac{1}{e^x+e^{-x}+2}$

$=\frac{1}{e^x+\frac{1}{e^x}+2}$

$=\frac{e^x}{e^{2x}+1+2e^x}$

$=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$

∴ $\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}$ $=\int\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx$

$=\int\frac{1}{(e^x+1)^2}d(e^x+1)$ (∵ $e^x=\frac{d}{dx}(e^x)$ ,e^xdx=d(e^x)

$=\frac{1}{-2+1}(e^x+1)^{-2+1}$ .....................................(4) (試想像u=e^x+1)

$=-\frac{1}{(e^x+1)^{1}}+c$ (記住+c)

Exercise:

Claculate the following indefinite integrals:

1) $\int x\tan{x^2}dx$

2) $\int \ln{x}dx$ ( hint:using (10) )

3) $\int \sum_{r=0}^{\infty}\frac{(-1)^r}{2r+1}x^rdx$ (唔好嚇襯,其實好易)(如果唔知個個符號(Σ)係咩就唔好做啦,遲d開個代數(algebra)先深究啦)

發表時間：2010-06-23 09:34 PM [ 編輯日誌 ] [ 分享至FACEBOOK ]

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