有隻貓兒掉下來，掉下來，掉下來。有隻貓兒掉下來，掉下來，掉下來，原來是隻牛頓貓。
說到貓兒，就有一籮筐的故事，上流社會的淑女喜歡抱著慵懶的睡貓，中古歐洲的女巫則有黑貓作伴，雖然宮崎峻嘗試在卡通魔女宅急便當中，改變人們對魔女穿著黑衣服，騎著掃帚的印象(如圖一)，但仍有很多人都認為黑貓是不吉祥的代表，以前的人就相信黑貓可以讓殭屍復活，有趣的是，以前台灣人稱貌美的女子為黑貓。至於貓兒的歷史可以追朔到西元前二千五百多年的古埃及，當時的古埃及人養貓是用來防老鼠，為了崇敬貓兒保存埃及人的穀糧，甚至以貓為神，女神巴司特(Bast，或Bubastis)即為人身貓頭(如圖二)，巴司特在埃及還有愛和月亮的意思，將貓奉為月神，很可能和貓可變化的瞳孔有關。貓兒對人類最重要的貢獻應該是捕捉老鼠，尤其是在農業時代，農人辛苦耕耘的收穫得靠貓兒守護，另外中古歐洲人也利用貓兒的補鼠技術防制黑死病。貓兒天生就是個狩獵家，它擁有靈敏的耳朵可以在黑夜中聽到細微的聲響，它輕盈的步伐，可以無聲無息地接近獵物，柔軟的身軀可以像彈簧般快速地捕捉獵物，貓可稱為獵殺者中的極品。
薛汀格的貓
貓兒對物理也有貢獻，在高深的量子物理，有所謂的薛汀格的貓(Schrouml;dinger's cat)，這是著名的物理學家薛汀格在1935年提出的一項想像實驗，將一個鋼製的箱子、電子偵測器和一隻貓放在密閉房間內，箱子中間有一個活動式隔板，整個實驗是想利用電子啟動毒藥，將貓毒死。首先在箱子內放置一顆電子，根據量子理論的說法，這顆電子可能在箱子的任一位置，如果箱子用一隔板分成兩個區域，這時電子出現在其中一個區域的機會為百分之五十，就像投擲銅板得到字的機率相同。箱子的其中一個區域是密閉的，另一個區域會和外面相連，如果電子在這個區域內，就會跑到箱子外頭，這時電子偵測器會偵測到電子，並釋放出毒氣將貓毒死。因此當箱子的隔板放下，毒死貓的機會也是百分之五十，而薛汀格貓會讓人覺得量子物理是多麼地詭異。
量子物理對習於日常生活的人是件超詭異的學問，想像將一顆籃球投向一面高牆，根本不需要經過計算，三歲兒童都知道籃球會反彈回來，即便你真的用牛頓運動定律計算籃球撞向牆壁的行為，或者實地操作一次，都是同樣的結果。但根據量子物理的計算，籃球是有很小的機會能夠穿牆而過，夠詭異吧！這是因為量子物理是用機率來描述萬物，自從有了量子物理，我們不再說電子是以類似行星繞行太陽的軌道模式繞行原子核，而是以機率波的方式分佈在原子核四周，物理學家只能說電子在某些區域出現的機率較大，也就是這種機率波的描述方式，才讓看似物體的電子也有類似光波的干涉現象。
回頭看看薛汀格的貓，這隻可憐的貓被關在密封的房間內，根據量子物理的哥本哈根解釋，只要我們不打開房間察看，就不會對該系統做出任何的干擾，這時貓的生死只能用機率來表示，也就是說貓可能是生，也可能是死，唯有打開房間之後才能知道結果，這和一般的認知有很大的差異，通常我們認為打開房間發現貓被毒死了，顯然在打開之前，箱子的隔板放下之後，貓就被毒死的，然而哥本哈根的解釋認為這段時間的貓是處在生和死的疊加狀態下，亦生亦死，非生非死，以薛汀格的話來說：活貓和死貓是以對等的部分混和，這隻薛汀格的量子貓真是隻麻煩的貓(讀者若對此貓有興趣，請參考牛頓出版社的薛汀格的貓)。但古典的牛頓貓也不是隻隨便的貓(easy cat)，牛頓貓牽涉到古典的角動量守恆定律，甚至還得出動微分幾何和規範理論。
貓與角動量守恆
古典物理中有四個重要的守恆律，就是說有四種物理量在隔絕系統內是不會改變的，這就好比是一個封閉小國的貨幣總數，如果該小國位在太平洋上的一個小島，不和其他國家有任何貿易行為，沒有任何的貨幣交換活動，如果也不發行和銷毀貨幣，該國的貨幣總數就會守恆，每個人擁有的貨幣可能會增加或減少，但整個國家的貨幣總數是不變的。古典物理中的質量、能量、動量和角動量都是守恆量，後來加上愛因斯坦E=mc2的質能關係式，使得質量和能量的總和是守恆量。在沒有外界影響(即沒有外加力矩)下，一個系統的總角動量是守恆不變的，系統內的某個部分增加角動量，就一定會有些部分的角動量會減少。嚴格說起來，角動量是一種向量，這個量除了有大小，還有方向，就像速度一樣，因此守恆除了大小守恆，方向也要守恆，大小和方向必須同時考慮。直昇機就是靠角動量守恆才能飛行，直昇機是由頂端的大型葉片快速旋轉，產生向下氣流，將直昇機浮升起來。只有頂端葉片的直昇機是飛不起來的，葉片一旦開始旋轉，整架直昇機會以反方向旋轉，旋轉的速度會比較慢，這是因為直昇機的轉動慣量比葉片大，角動量是轉動慣量乘上旋轉的角速度，根據角動量守恆原理，直昇機會以較慢的角速度反方向旋轉。為了保持直昇機穩定，尾翼的葉片是不可或缺的，利用尾翼葉片的旋轉讓整架直昇機固定下來(如圖三)，而改變尾翼葉片的旋轉速度也可以控制直昇機的前進方向。
角動量守恆並不能算是嶄新的近代物理定律，但是有關角動量的問題至今仍層出不窮，例如從高空中掉下來的貓。想像兩手各抓住貓的前肢和後肢，這時貓呈現四腳朝天的模樣，然後雙手放開，讓貓自由落下，並不令人意外，貓會在空中轉身後四腳落地。也許你會驚訝於貓的靈活動作，但這種轉身動作一直到最近幾十年才被科學家認真研究。貓掉下來的事件有什麼令人困擾的地方？如果考慮剛才提到的角動量守恆，你會發現這隻掉下來的貓應該會摔個四腳朝天。當一開始貓在空中呈四腳朝天的模樣，如果只是雙手放開，沒有甩動的動作，表示一開始貓沒有角動量，因此當貓落到地面的過程中不應該產生角動量，也就是說貓不會轉身落地，但真實情形並不是如此(如圖四)！
在貓下落的情形當中，可以想像一條通過貓身體質量重心的水平線，貓的四肢向上，必須經過一次相對於水平線的旋轉才能平安落地，貓是如何做到憑空旋轉？早在十八世紀末就有人開始研究這個問題，法國科學家Marey對生物的運動感到有興趣，他在1894年發展了一套相機系統可以快速地拍攝一連串貓落下的照片。另一位法國科學家Guyon曾解釋貓如何轉身落地。角動量是轉動慣量和角速度相乘的結果，轉動慣量和質量不同，一個物體不管外型如何變化，它的質量不會改變，但是轉動慣量卻和物體的外型和旋轉軸有關，相對於旋轉軸的距離越大，轉動慣量越大，例如溜冰選手在冰上做自轉的動作，當雙手張開的時候，相對於旋轉軸的距離就比收手的情形大，因此雙手張開的轉動慣量比較大，根據角動量守恆原理，溜冰選手在張開雙手和收手的時候有相同的角動量，但張開雙手的轉動慣量大，因此旋轉的角速度小，收手的時候角速度變大，溜冰選手就轉得快。Guyon認為貓落下的時候先收縮前肢，伸展後肢，改變貓前半身和後半身的轉動慣量，然後前半身和後半身以相反的方向旋轉，由於收縮前肢使得前半身的轉動慣量小於後半身的轉動慣量，因此旋轉的時候，前半身轉動的角度較大。接著貓伸出前肢，收縮後肢來改變前半身和後半身的轉動慣量，此時後半身以原先相反的方向旋轉較多的角度，前半身則旋轉較少的角度，最後四肢在落地前都能朝向地面(如圖五)。
雖然Guyon的解釋符合角動量守恆，但實際觀察並沒有發現貓依照此一方式掉落。在1940到1950年代的一本俄國出版的理論力學教科書中提出另一種說法，主要是靠貓的尾巴快速旋轉，讓貓的身體以反方向旋轉落地(如圖六)，就像一架沒有尾翼的直昇機。但根據觀察，貓可以在很短的時間內(約八分之一秒)旋轉180度，並且貓尾巴旋轉的轉動慣量比貓身體的轉動慣量小很多，若要讓貓在八分之一秒內旋轉180度，貓的尾巴得在八分之一秒內以相反的方向旋轉數十圈，簡直像直昇機旋轉的葉片一樣快。此外根據這種說法推論，一些特別修剪過尾巴的貓是會摔得四腳朝天。在1960年，英國生理學家麥當勞(D.A. McDonald)曾用切除尾巴的貓做實驗，他發現這種貓仍會安全落地。
到了1960年代又流行新的解釋方法，新的解釋是來自於兔子的行為，科學家發現兔子也有類似的高級動作，當兔子四腳朝天地落下，會有幾個基本動作(如圖七)。兔子會先彎腰，讓它的身體彎出一個角度，接著兔子會伸展它的後肢，讓前半身和後半身近乎垂直，通過前半身的軸線稱做甲軸，通過後半身的軸線稱做乙軸，甲軸和乙軸的夾角近乎90度。此時兔子的前半身繞著甲軸旋轉180度，讓它的前肢朝向地面，根據角動量守恆原理，兔子的後半身必須以相反方向繞著甲軸旋轉，但是兔子的後肢距離甲軸較遠，相對於甲軸的轉動慣量很大，因此後半身只要相反方向旋轉很小的角度即可。接著換後半身旋轉，此時後半身是繞著乙軸旋轉180度，同樣地，兔子的前半身相對於乙軸的轉動慣量很大，只會有很小的角度反轉，最後兔子的四肢都朝向地面落地。實際情形並不會如此繁瑣，兔子同時進行前半身和後半身的旋轉，這種高級動作的關鍵是要先彎腰，彎腰造成前半身和後半身相對於兩條軸線有不同的轉動慣量，透過適當的安排達到轉身的目的。
到了1969年，美國科學家Kane和Scher在期刊上發表了新的解釋，他們仔細觀察貓翻身落下的動作，發現了幾個特點，當中最重要的一點就是沒有發現前後身軀的相互扭轉現象。先前的解釋方法是將貓的身體分成兩部分，如果前半身順時鐘旋轉，後半身就得逆時鐘旋轉，也就是說前半身和後半身之間有相互扭轉的現象，以滿足角動量守恆，就像雙手擰毛巾一樣，只不過貓的前後半身旋轉角度不同，而Kane和Scher並沒有發現前半身和後半身之間有相互扭轉的情形。根據他們的解釋，貓掉下來的時候，身體呈現彎曲，貓的前半身和後半身都以相同的方向繞各自的軸線旋轉，單是這種方式旋轉會多出一些角動量，此時貓的整個身體必須繞著水平軸線以相反的方向旋轉，自然而然地，貓就會四肢朝下。Kane和Scher將整個過程用轉動微分方程式描述，並且進行了數值模擬計算，他們將貓簡化成兩個圓柱體，分別代表貓的前半身和後半身，兩個圓柱體以某個角度排列，之間用了兩個椎面體相接，椎面體之間只有滾動，沒有滑動，以確保兩個圓柱體之間沒有相互扭轉的情形發生。整個模擬過程就如預期的(如圖八)，圖中的叉叉代表貓的四肢，我們可以看到圓柱體上的叉叉逐漸朝向讀者方向由上到下旋轉，而整個系統則是朝著讀者方向由下而上旋轉，旋轉的方向和圓柱體旋轉方向相反，最後叉叉朝向下方。
牛頓貓的問題並不是想像地那麼簡單，雖然只是個古典的角動量守恆問題，並沒有牽涉到狹義和廣義相對論，也沒有絲毫的量子理論，但直到最近三十幾年才逐漸有了答案。你可曾猜想過，一隻掉落的牛頓貓問題除了和看似簡單的角動量守恆有關，還牽涉到古典力學的完全(holonomic)和非完全(non-holonomic)系統，甚至加上數學的微分幾何理論。先前提到Kane和Scher發現貓的前半身和後半身之間沒有扭腰的動作，前後身軀都是以相同的方向旋轉，若以兩個圓錐柱體來代表貓的前後身軀，兩個圓錐面接觸的地方不會有滑動的情形發生，這種沒有滑動的現象可以看成圓錐柱體運動的一種約束條件。
有約束條件的問題並不容易解決，考慮一個沒有體積大小的質點在三維空間任意移動，通常可以用位置和速度來描述該點的運動情形，在三維空間中，位置是由三個數字表示，也就是三個座標值，而速度也有三個分量，總共有六個數字來記錄質點的運動。在古典力學中，需要六個獨立的方程式來描述運動狀態，每個方程式提供一個數字的變化情形。如果該點用一根棍子拴起來，棍子的另一端固定在空間中的某一固定位置上，這時質點的運動就受到約束，它只能在依個圓球殼上移動，圓球殼的半徑為棍子的長度，這時只要6-1=5個方程式就可以描述該點的運動，因為已經有了一個約束的條件存在。在貓的問題中，兩個圓錐柱體之間的限制在於圓錐面必須黏在一起，但是之間的滑動和滾動又屬於不同的物理問題。Kane和Scher考慮的滾動情形屬於完全系統，而先前的解釋屬於非完全的滑動。雖然Kane和Scher宣稱沒有看到貓有扭腰的動作，貓掉落的問題應該屬於完全問題，但直到去年秋，仍有麻省理工學院的學生用非完全的方式討論此一問題，甚至動手製作儀器進行實驗。
牛頓貓的問題也可以從數學方面下手，以更廣義地的方法研究貓掉落的問題，允許貓以各種姿勢下降，例如將貓的頭朝下，就得用更抽象的手段來看牛頓貓，或者說用抽象的手段來看一個可變形物體的方位變換問題。另外牛頓貓還有最佳化的問題，也就是說要用什麼樣的翻轉方式才是最理想，這部分就和控制理論有關。早期有關牛頓貓的數學理論是要將物理學家和數學家的規範理論連接起來，希望一個物體外型空間在物理學家的規範理論中扮演基本空間或時空的角色。牛頓貓掉落的問題可以將貓的外型想像成在空間中一組點的集合，這個點的集合看起來就像一隻貓，貓四腳朝天地掉下來，則看成點集合在空間中向下掉落，當這些點落到地面，整個點集合的外型沒有改變，只有方向改變，四腳落地。這問題有點像是莫比烏斯帶(Mobius belt，如圖九)，一根指向上方的箭頭沿著莫比烏斯帶平行地前進，當箭頭繞回來的時候，方向卻指向下方。在空間中代表貓外型的點也有類似的方向改變，只不過在整個變化過程中有一條約束條件，就是角動量必須守恆，數學家就是要處理這隻牛頓貓的規範理論。
牛頓貓的問題可不是件無聊的問題，在實際運用和理論上也不簡單，它出現在許多地方中，例如溜滑板運動，滑板選手在非常陡峭的滑板場地上做出許多不可思議的轉體動作，當滑板選手藉著騰空的時候，在空中做出扭腰轉體的高級動作(如圖十)，這些動作也都和角動量有關。另外像是在跳水、體操和花式溜冰，也都有空中轉體的動作。除了地球上的活動外，在太空中也有牛頓貓的現象，太空人在太空船外回頭拿取身後的工具，這也有角動量的問題，太空船的控制系統也不例外，看來牛頓貓並不會比薛汀格貓來得簡單！
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