狹義相對論簡說                                           

──如何從牛頓時空轉變為相對論之時空，如何從牛頓力學轉變為相對論力學

──如何以數學符號表達物理觀念，協助推理的一個(理論物理)例子

物理中原理、定律皆是推論的起點。基於觀測者為定律，較具體；原理則是思考的結果，比較抽象而廣泛。在近代物理中，這種稱謂不如古典物理中嚴格。常用到兩個「原理」（有時並不明說）：

(a)       對稱性原理(Principle of Symmetry)：大自然應是可以理解的。──在同樣的條件下，不同的觀測，應有同樣的結果。如有不同，必有理由。換言之，「無風不起浪」。例如：一點電荷之等位面必為球面──如非球面，電荷必非只有一點。

(b)       相應原理(Correspondence Principle)：牛頓力學在日常生活中，應用極廣，故任何新理論必須在一定條件下，與其相應。例如：相對論在低速之條件下，應與其相應。

【1】    狹義相對性原理(The Principle of Special Relativity)：

牛頓運動第一定律是質量觀念的來源，但「靜者恆靜，動者恆動」是什麼意思？

設想在一個「空的」宇宙內，其中有一些不受力的質點。若有三個（或更多）不共線之質點之間距不變，則可以用之定義一個座標系(x,y,z)，加上其時間(t)，稱為慣性參考架構(Inertial Frame of Reference)。以此參考架構來觀測其他不受力的質點，我們才能說「靜者恆靜，動者恆動」。

但顯然這樣的慣性參考架構不止一個，相互之間皆為等速直線運動。我們沒有理由(對稱性原理)說任何一個是特別的或「真靜止」的慣性參考架構。故：

狹義相對性原理：對觀測而言，所有的慣性參考架構皆為同等的。

(廣義相對論考慮萬有引力，故不能有不受力的質點，時空因而彎曲。──宇宙不是「空的」。)

【2】    光速恆定原理(The Principle of Constancy of the Speed of Light):

在這個空的宇宙內，除了這些不受力的質點外，我們也考慮有光(電磁波)。根據馬克斯威方程式，電磁波之運行不須要介質，而真空中，所有光之進行，無論其波長、方向、偏極皆有同一之速率。故在不同之慣性參考架構中觀測，光之進行，沒有理由有不同之速率。反之，如光速非恆定，則可以利用光速在不同慣性參考架構之不同，找到特定的「真靜止」慣性參考架構(如「以太」說)，違反狹義相對性原理。

光速恆定原理：所有慣性參考架構中之光速皆為c=299792458m/sec@3´10⁸m/sec。

(這是狹義相對論「反牛頓」的根源。Michalson-Morley實驗是否定以太說的觀測証據。但愛因斯坦認為這是「應然」的，不須實驗。)

【3】    伽里略轉換式(Galilean Transformation)：

如果有兩個不同的慣性參考架構，

S(x,y,z,t), S’(x’,y’,z’,t’)                                                                               (1)

在S中觀測到一件事件(event)E, 發生在E(x,y,z,t)；而在S’中，發生在E(x’,y’,z’,t’) 。x,y,z,t與x’,y’,z’,t’之關係式稱為轉換式。

如果時間是絕對的，而長度也是絕對的(牛頓世界)，則

t’=t                          逆轉換         t=t’

x’=x-ut                                          x=x’+ut’

y’=y                                             y=y’

z’=z.                                             z=z’                                                        (2)

此為伽里略轉換式。其中我們為簡化公式，設

(i)  時間空間之「原事件」O(0,0,0,0)合一，空間座標軸方向平行。

(ii) S’在S之正x方向運行。S在S’之負x方向運行，速率為u。

伽里略轉換式符合相對性原理(形式上，除u之正負改變外，逆轉換與正轉換同形)。但不符合光速恆定原理。我們可以考慮一個等速運動，起自原點O(0,0,0,0)，到達事件E(x,y,z,t), 則將(2)式之第一行，除其他各行，可得速度之轉換式，(v_xºx/t, etc.)

v_x’=v_x-u,            v_y’=v_y,               v_z’=v_z.

\v’²=( v_x’²+ v_y’² +v_z’²)= ( v_x²+ v_y² +v_z²)-2 v_xu+u²=v²-2 v_xu+u².                                        (3)

除非-2 v_xu+u² =0, v與v’不能同時為c。但要符合光速恆定原理(所有慣性參考架構)，u之值必須可以任選，不可被一條件決定，故伽里略轉換式不符合光速恆定原理。

【4】    洛仁子轉換式(Lorentz Transformation)：

符合以上兩原理的轉換式為洛仁子轉換式(仍用上述(i)(ii)之簡化設定) 。

令bºu/c, gº1/(1-b²)^1/2：

ct’= g [(ct) - bx]                               逆轉換(由計算而得)        ct = g [(ct’) +bx’]

x’ = g[-b(ct)+ x]                                                                          x = g [b(ct’)+ x’]

y’= y                                                                                           y = y’

z’= z.                                                                                           z = z’                      (4)

gº1/(1-b²)^1/2>1稱為洛仁子乘數(Lorentz factor), 它與b²º(u/c)²<1的關係，可略示如下：

If b²<<1, then, g » 1+ b²/2+…

If b²=(3/5)², then, g = 5/4,               If b²®1, then g®¥

洛仁子轉換式之推導：(此為n種方法中之一種)

這導來法中有一些物理推理(想像的實驗)，及簡單的代數。

a.        首先，我們講一下「線性式」與「線性轉換式」。以二度空間為例：在直角座標(x,y)中一條直線之方程式是：ax+by+k=0, 其中a,b,k為常數。故多元一次式(如二元之ax+by+k)稱為「線性式」。

座標系(x,y)與(x’,y’)間，可有「線性轉換式」如：x=3x’+2y’, y=x’-4y’。請注意，若x,y為直角座標，x’,y’不一定是直角座標。單位長度也未必一樣。但是，任一x,y中之線性式，在x’,y’中仍為線性式(可試將上式轉換)。且顯而易見，如轉換式非線性，則某些線性式不能在轉換後保有線性。故：惟有「線性轉換式」可維持(preserve)所有的線性式。

b.       但不受力之質點，其運動方程式(如：x=3t+5, y=2t-3等)與其路徑（如2x-3y=19）皆為線性式。而在S中之一不受力之質點，在S’中仍是不受力之質點。故其間之轉換式，必須能維持所有的線性式。亦即必是一線性轉換式。

c.        在(i)(ii)之簡化設定下，考慮S’中的一個與相對速度u(即x’方向) 垂直之面。在S中觀之，其上的每個點皆以速度u在x方向進行，且每個點對S而言，俱為相同，故沒有理由它們有任一點與眾不同(突出或落後)，故此面仍與x軸垂直(對稱性原理)。再考慮y’軸(或任意與其平行的直線)上一根棍子上兩個點，其一為零點(y’=0=y)。由以上考慮，此棍不應傾斜。故在S中仍僅有y.方向之間距。若在S中測其間距，亦應與S’中相同，否則會違反相對性原理(y’=2y,y=2y’不能並存)。故y’=y。同理，z’=z。

d.       故伽里略轉換式中之後二行無須改變。祗須考慮前二行。也就是說，只要考慮x與x’軸上，(t,x)與(t’,x’)的關係。而任意與其平行的直線亦應有相同關係(對稱性原理)，故此關係中應無y,z。

e.        想像在x與x’軸上，各有許多顯示器(顯示自己的時間及座標)兼記錄器(記錄對方的時間及座標)，這樣(t,x)與(t’,x’)的關係就可以決定。但這轉換式必為線性，故可得(a,b,d,e為待定)：

ct’= a(ct) - bx                              (c為光速)

x’ = -d(ct)+ ex                                                                                             (5)

求(5)式之逆轉換,得

ct = [e(ct’) + bx’] /D

x = [d(ct’)+ ax’]/D.

其中Dºae-bd.

f.         正轉換中之a[即(¶t’/¶t)_x] 在S中，與逆轉換中之e/D[即(¶t/¶t’)_x’]在S’中意義相同，故因狹義相對性原理，

a=e/D. ,                    同理：e=a/D           [即(¶x/¶x’)_t’=(¶x’/¶x)_t]                  (6)

故a=a/D² , 即D=±1。但我們選擇a>0 (時序不可顛倒)，e>0,(x正軸與x’正軸同方向。)故

Dºae-bd =1，而a=e。                                                                     (7)

g.        S之原點x=0, 在S’中速度為-u。用(5)式，可得x’/t’|_x=0=-dc/a=-u, 即

d=ab.                                                                                                 (8)

h.        將(5)式之第一行除第二行，得（參考以上(3)式之方法）

v_x’/c=[e(v_x/c)-d]/[a-b(v_x/c)].

假定速度僅在x方向，由光速恆定原理，v_x/c=1時，應得v_x’/c=1。故

e-d = a-b.                                                                                                      (9)

i.          計算以上(7)-(9)，得a=e=g, b=d=gb。代入(5)即洛仁子轉換式(4)。

以上証明了洛仁子轉換式之必然性。我們還要考慮它是否充分滿足「相對性」與「光速恆定」兩原理。此式顯然符合狹義相對性原理(形式上，除u之正負改變外，逆轉換與正轉換同形)。又由洛仁子轉換式可以計算得

t²-(x²+y²+z²)/c²= t’²-(x’²+y’²+z’²)/c²,                                                            (10)

此式即：t²(1-v²/c²)= t’²(1-v’²/c²), 但若t¹0,必有t’¹0, 故若v=c, 則v’=c。故任意方向之光速在所有慣性參考架構中皆為恆定。

【5】    洛仁子轉換式之時空效應：

(1)       運動中之時鐘變慢：考慮兩個事件,代表S’中一個運動中之時鐘,

O(0,0,0,0)及E₁(t’=t’₁>0, x’=0=y’=z’)

代入洛仁子逆轉換式之第一行，得t₁=gt’₁>t’₁.

(2)       沿運動方向之直尺變短：欲測一運動中之尺之長度，應在測量者之系統S中同時測其兩端。故考慮兩個事件

O(0,0,0,0)及E₂(t₂=0, x=x₂>0,y=z=0).

代入洛仁子轉換式之第二行，得x₂’=gx₂。故

x₂=x₂’/g< x₂’.

(3)       「同時」(Simultaneity)非絕對:以上的事件，代入洛仁子轉換式之第一行，可得

t₂’= -gux₂/c²：由被測者之觀點而言，E₂早於O。

(4)       超光速可以導致時序之顛倒：考慮兩個事件代表一個速度v之質點

O(0,0,0,0)及E₃(t = t₃>0, x=vt₃,y=z=0).

代入洛仁子轉換式之第一行，得

t’₃=g [c - bv]t₃,

因bºu/c可無限逼近1，故若v>c, (精確條件為vu>c²), t’₃<0.

(5)       因時序之顛倒可導致因果之矛盾（祖父詭說），故所有訊號（質量，能量，或動量之傳遞）不得超光速，但無質量(但有能量與動量)之訊號必等於光速(見下)。

(6)       不轉換量t ─「本值時間」proper time ：

對一個等速運動之質點自O(0,0,0,0)至E (t ,x,y,z).，我們可定義其「本值時間」(v=0或此質點本身之計時)為

t=t[1-(v/c)²]^1/2                         v²=(x²+y²+z²)/t²<c²,

由(10)式可得「本值時間」在S與S’中, 其值不變

t=t/發表時間：2006-01-28 05:36 PM  [ 訪客留言(0) ] [ 編輯日誌 ] [ 分享至FACEBOOK ]