終於都學到微分(differential)啦,係學微分之前,首先要學左以下既概念:極限,速度,導函數,導函數既圖形,導函數既求法,導函數既計算公式,三角函數既導函數,對數與指數既導函數,高次導函數,極大值與極小值,睇咁多先會進入微分.

以下落黎我要講極限,對於未學過極限既人黎講,佢係一個好新鮮既課題,而且對將會學到既概念非常重要,大家要非常熟稔!

下面係呢篇文章用到既數學符號.

假設有一個變數x,佢既值介於具有下面性質既區間入之內:

-呢個區間由一個以a為中心既數,聚集而成既.

-兩數x同a既差,必定細過第三個數B.

-x唔可以等於a.

上面既講法可以用下面既方法表示:

|x-a|>0

|x-a|<B

咁樣 0<|x-a|<B

x≠a

假設y=f(x)=x²,我地會一睇就知,當x=3, 咁y=9.

如果我地以3為中心,咁樣x就唔可以等於3

當x既區間係1同5之間(為左方便,用1~5解釋),咁y既區間就係1~25

當x既區間係2~4,y既區間就係4~16

x:2.9~3.1,y:8.41~9.61

x:2.999~3.001,y:8.994~9.006

大家會發現當x越接近3,咁樣y就會越接近9,我地可以話,當x趨近3時,x²既極限就係9,用下面表示:

為左方便,我將會用lim_x→3(x²)=9,因為我地將會成日見到.

點解我地咁麻煩唔直接用x²=9表示呢,大家試諗下(x²+2x)/x,當x=0,咁樣(x²+2x)/x=[0²+2(0)]/0=0/0,大家會發覺係做唔到!

lim_x→0[(x²+2x)/x]=lim_x→0{[x(x+2)]/x}=lim_x→0(x+2)=2  (x趨近0睇黎比較可行!)

即時練習:

lim_x→1[(x²-1)/(x-1)

lim_x→0{[(x+1)²-1]/x]

極限既定義:

設f(x)中既x被限制於x=a為中心時既區間入面,但x≠a,假如有一個數L,並且當任一正數ε(讀epsilon)存在時,同時有一個正數δ(讀delta)同佢相對應,則必然出|f(x)-L|<ε形成0<|x-a|<δ,我地會話"L是當x趨近於a時f(x)的極限值",面寫成

lim_x→af(x)=L

額外既資訊:

學完極限就睇下以下既定義(可以唔洗睇)

f(x)=(1+x)^1/x,當x=0時,我地就好難計算

所以好易就知道lim_x→0(1+x)^1/x,咁樣會更易明白,原來呢個數字係好重要,我地用e代表呢個數字,佢既值大概係2.718....

用計數機試下將一個好細既數代入x(如:0.000000001)就會出現e既數值.

lim_x→0(1+x)^1/x 或 lim_x→∞(1+1/x)^x  (x→∞係指x趨近無限,兩者係定義上係一樣)

雖然e好重要,但係暫時黎講都唔會,而家只會講下佢既概念.

lim_θ→0[(sinθ)/θ]=1  (用孤度制,下次唔會提大家)

呢個我唔會詳細證明,但都係好重要,要記.

定義性既原理係不宜證明,但理論性既定律就可以證明.

如:e係定義性既原理,唔適合證明;lim_θ→0[(sinθ)/θ]=1就係理論性既定律.

所以大家可以自己證明下lim_θ→0[(sinθ)/θ]=1呢個原理.

一尾追求答案係冇用既!唔自己嘗試證明係學唔到野(證明可用圖形).