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2009 年 5 月 30 日星期六

導函數(Derivative)

分類: Calculus

我好耐冇打微積分既文章,今次我地會講下導函數(derivative)

當我地寫S=f(t)既時候,我地令位置因時間而定,所以位置係時間既因變數,時間係自變數.

速度係單位時間入面位置既變率,所以我地明白速度係:

$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}$

等我地諗下函數既定義:y=f(x),y係因變數,x係自變數.

y對x既變率 $=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

我地用 $\frac{dy}{dx}$ 表示 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 會方便得多!

$\frac{dy}{dx}$ 係對於x值既y值導函數.

點樣計算呢,先例一啲公式:

1) $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

2) $\frac{d}{dx}(u \pm v)=\frac{d}{dx}u \pm \frac{d}{dx}v$

3) $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}u$

4) $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}u-u\frac{d}{dx}v}{v^2}$

5) $\frac{d}{dx}\omega (u)=\frac{d\omega}{du}\frac{du}{dx}$ (呢個係鎖鏈律(chain rule))

6) $\frac{d}{dx}ln(x)=\frac{1}{x}$

7) $\frac{d}{dx}e^x=e^x$

8) $\frac{d}{dx}a^x=a^xlna$

9) $\frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}$

10) $\frac{d}{dx}\cos{x}=-\sin{x}$

11) $\frac{d}{dx}\tan{x}=\sec^2{x}$

12) $\frac{d}{dx}\sec{x}=\sec{x}\tan{x}$

13) $\frac{d}{dx}\cot{x}=-\csc^2{x}$

14) $\frac{d}{dx}\sin^{-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

15) $\frac{d}{dx}\cos^{-1}{x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

16) $\frac{d}{dx}\tan^{-1}{x}=\frac{1}{1+x^2}$

17) $\frac{d}{dx}\cot^{-1}{x}=-\frac{1}{1+x^2}$

eg:

$\frac{d}{dx}\frac{\sqrt{x\sqrt{x^3}}}{x^2}$

$=\frac{1}{x^4}(x^2\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{4}}-x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{4}}\frac{d}{dx}x^2)$ ..........................................(4)

$=\frac{1}{x^4}\left[x^2(\frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1})-x^{\frac{5}{4}}(2x)\right]$ .........................................(1)

$=\frac{5}{4}x^{-\frac{7}{4}}-2x^{\frac{9}{4}}$

$\frac{d}{dx}x\sin{\frac{1}{x}}$

$=x\frac{d}{dx}\sin{\frac{1}{x}}+\sin{\frac{1}{x}}\frac{d}{dx}x$ .........................................(3)

$=x\cos{\frac{1}{x}}\frac{d}{dx}\frac{1}{x}+\sin{\frac{1}{x}}$ .........................................(5)代u=1/x, $x\frac{d}{du}\sin{u}\frac{du}{dx}+\sin{\frac{1}{x}}$